BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar
Belakang
Persoalan
yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu
pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan
rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro dan
sebagainya. Seringkali model
matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk
dikerjakan secara analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact
solution). Yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian
model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim
digunakan.
Sebagai ilustrasi, diberikan beberapa
contoh berikut ini :
1. Penyelesaian akar-akar persamaan polinom :
23,4x7
– 1,25x6 + 120x4 + 15x3 - 120x2 - x
+ 100 = 0
2. Pencarian harga x yang memenuhi
persamaan:
3. Penyelesaian sistem persamaaan linear :
0,9a
+ 3b - c + 16d + 8e - 5f - 10g = 17
4,6a
+ 3b - 6c - 2d + 4e + 6,5f - 13g = 19
|
2,2a
+ 3b + 17c + 6d + 12e – 7,5f + 18g = 9
5,9a
+ 3b + 11c + 9d - 5e - 25f - 10g = 0
1,6a
+ 3b + 1,8c + 12d -7e +2,5f + g =-5
(Susy, 2006 : 1-2)
Setelah
melihat beberapa contoh ilustrasi di atas, kemungkinan besar cara analitik
tidak dapat digunakan. Untuk polinom berderajat 2, masih bisa dicari akarnya
menggunakan rumus abc yang sudah terkenal, yaitu :
Namun, untuk polinom yang
berderajat lebih besar dari 2, tidak ada rumus aljabar untuk menghitung akar
polinom tersebut. Alternatifnya adalah dengan memanipulasi polinom, misalnya
dengan pemfaktoran atau menguraikan polinom tersebut menjadi perkalian beberapa
suku. Semakin tinggi derajat polinom, jelas semakin sukar memfaktorkannya. Begitu juga untuk menyelesaian sistem
persamaan linear. Apabila sistem persamaannya hanya berupa dua atau tiga garis
lurus dengan dua atau tiga peubah, masih dapat ditemukan solusinya (dalam hal
ini titik potong kedua garis) dengan menggunakan rumus titik potong dua buah
garis. Titik potong tersebut juga dapat ditemukan dengan menggambar kedua garis
pada kertas grafik. Tetapi untuk sistem dengan jumlah persamaan dan jumlah
peubah lebih besar dari tiga, tidak ada rumus yang dapat dipakai untuk
memecahkannya.
Contoh-contoh ilustrasi di atas memperlihatkan
bahwa ada beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan
metode analitik. Akan tetapi metode analitik unggul untuk sejumlah persoalan
yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar
penyelesaian dari menggunakan rumus abc.
Padahal persoalan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam
bentuk sederhana tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang
rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas.
Bila metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang
dapat digunakan adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah
teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat
dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang,
kali, dan bagi) (Susy, 2006 : 3-5).
Penyelesaian
secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi, perhitungan berulang dari
data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut dilakukan secara manual,
akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan kemungkinan timbulnya nilai
kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri juga relatif besar.
Misalnya untuk menyelesaikan persoalan persamaan non-linear , jika diselesaikan menggunakan cara manual menggunakan
Metode Biseksi diperlukan beberapa iterasi. Untuk penyelesaian sampai tujuh
angka di belakang koma dapat terjadi iterasi sampai puluhan kali. Ini tentu
membutuhkan waktu yang relatif lama. Pada kenyataannya sering terjadi proses
iterasi sampai ratusan kali, pada keadaan demikian ini komputer sangat
dibutuhkan untuk mengurangi waktu penyelesaian (Munif, 1995 : 3). Selain mempercepat perhitungan numerik,
dengan komputer dapat dicoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat
perubahan beberapa parameter tanpa menyita waktu dan pikiran. Solusi yang
diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai
parameter (Susy, 2006 : 9).
Persamaan linear jika digambarkan pada
sumbu kartesius berupa garis lurus. Sedangkan untuk persamaan non-linear jika
digambarkan pada sumbu kartesius berupa kurva (garis lengkung). Persamaan yang termasuk persamaan
non-linear adalah persamaan polinomial, persamaan eksponensial, persamaan
logaritmik, persamaan sinusoida, dan sebagainya (Munif, 1995 : 7). Sebagai
contoh misalnya terdapat persamaan : dengan daerah asal {x
| -2 £ x £ 6, x Î R}. Persamaan tersebut jika digambarkan pada
sumbu kartesius :
Dari gambar di atas terlihat jelas bahwa
persamaan jika digambarkan pada
sumbu kartesius berupa kurva. Jika dicari nilai x yang memenuhi persamaan
biasanya digunakan rumus abc, maka diperoleh x1 = 0 dan x2
= 4. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan ini pada gambar terlihat jelas yaitu
titik potong garis dengan sumbu x.
Akan
tetapi jika diilustrasikan
untuk persamaan non-linear :
23,4x7 – 1,25x6 + 120x4 + 15x3
- 120x2 - x + 100 = 0 maka rumus abc sudah tidak berlaku lagi,
karena persamaan tersebut mempunyai pangkat yang lebih besar dari 2. Metode analitik tidak berlaku lagi karena
terlalu memakan banyak waktu, tenaga dan pikiran. Jalan yang paling efektif dan
efisien adalah dengan mengggunakan metode Numerik, karena hanya dengan beberapa
langkah saja sudah bisa didapatkan apa yang diinginkan.
Penyelesaian yang digunakan dalam metode
Numerik adalah penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul
kesalahan (error). Pada penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error
yang sekecil mungkin. Langkah pertama yang dilakukan dalam penyelesaian
persamaan non-linear dengan menggunakan metode Biseksi dan metode Regula Falsi
adalah menetapkan nilai sebarang a sebagai batas atas dan nilai sebarang b
sebagai batas bawah kemudian ditentukan nilai fungsi f(x) untuk x = a dan x = b. Selanjutnya adalah memeriksa
apakah f(a).f(b) < 0, apabila terpenuhi syarat tersebut berarti akar fungsi
terdapat di antara a dan b. Jika tidak terpenuhi maka kembali harus menetapkan
nilai sebarang a dan b sedemikian rupa sehingga ketentuan perkalian terpenuhi
(Wibowo, 2007 : 1). Jika ketentuan perkalian terpenuhi maka selanjutnya adalah
menentukan titik c (titik di antara a dan b). Untuk metode Biseksi menggunakan
rumus sedangkan untuk metode
Regula Falsi menggunakan rumus . Langkah selanjutnya adalah mencari nilai c yang lain
sehingga didapat error yang kecil atau sama dengan nol.
Selain sederhana, metode Biseksi dan
metode Regula Falsi mempunyai beberapa kelebihan yaitu proses iterasi lebih
cepat, mudah untuk dibuat program dan tingkat kesalahan kecil. Untuk metode
yang menghasilkan error kecil maka metode tersebut lebih teliti
dibanding dengan metode lain. Dalam metode Numerik ada beberapa metode yang
dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear, diantaranya metode Tabulasi,
metode Biseksi, metode Regula Falsi, metode Iterasi bentuk x = g(x), metode Newton
Rapson, metode Faktorisasi (P3, P4, P5), metode
Bairstow dan metode Quotient-Difference
(Q-D) (Munif, 1995 : 8).
Berdasarkan uraian di atas, tujuan utama penelitian
ini adalah mempelajari penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi
dan metode Regula Falsi Menggunakan Cara Komputasi serta mengetahui perbedaan
kecepatannya dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya
iterasi.
B.
Perumusan Masalah
Berdasarkan
latar belakang tersebut di atas, maka permasalahan dalam penelitian ini adalah
:
1.
Bagaimana
penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi dengan program
komputer.
2.
Bagaimana
penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Regula Falsi dengan
program komputer
3.
Bagaimana
perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam
menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.
C.
Pembatasan Masalah
Batasan
masalah dalam penelitian ini adalah persamaan non-linear dalam bentuk polinomial
satu variabel.
D.
Tujuan
Penelitian
Dengan
adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan dari penelitian ini adalah :
1.
Membuat
program komputer untuk menyelesaikan persamaan non-linear menggunakan metode
Biseksi.
2.
Membuat
program komputer untuk menyelesaikan persamaan non-linear menggunakan metode
Regula Falsi.
3.
Mengetahui
perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam
menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.
E.
Manfaat Penelitian
Ada
beberapa manfaat yang diharapkan dari penelitian ini, diantaranya adalah :
1.
Mengetahui
perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam
menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.
2.
Memberi
masukkan bagi peneliti yang ingin mempelajari lebih jauh tentang metode Numerik.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar