BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

BAB IV

24

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Penelitian ini menghasilkan diagram alir, kode program serta keluaran berupa tingkat ketelitian metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear satu variabel.

A.    Diagram Alir

Diagram alir dibuat untuk mempermudah urutan langkah-langkah penyelesaian masalah. Adapun diagram alir yang dihasilkan secara garis besar terdiri dari :

1. Program Utama

Dalam diagram alir untuk program utama berisi perintah untuk menentukan pilihan pada menu utama (masuk, bantuan dan keluar) serta  pilihan untuk memanggil prosedur penyelesaian metode biseksi, penyelesaian metode regula falsi, memasukan jumlah persamaan dan derajat tertinggi serta pernyataan untuk memanggil prosedur perbandingan utama.

2. Prosedur Penyelesaian Metode Biseksi

Dalam diagram alir ini berisi perhitungan penyelesaian persamaan non-linear dengan menggunakan metode Biseksi.

3. Prosedur Penyelesaian Metode Regula Falsi

Dalam diagram alir ini berisi perhitungan penyelesaian persamaan non-linear dengan menggunakan metode Regula Falsi.

4. Prosedur Perbandingan Utama

Dalam diagram alir untuk prosedur perbandingan utama berisi perhitungan untuk metode Biseksi dan metode Regula Falsi serta perhitungan untuk mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.

Diagram alir secara keseluruhan dapat dilihat pada lampiran 1.

B.     Kode Program

Kode program yang dihasilkan diberi nama “NUMERIK” yaitu program yang digunakan untuk mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menentukan akar penyelesaian persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi. Secara garis besar kode program ini terdiri dari :

1.      Program Utama

Dalam kode program untuk program utama berisi pernyataan untuk menampilkan menu utama, pernyataan untuk memanggil prosedur penyelesaian metode biseksi, penyelesaian metode regula falsi, memasukan jumlah persamaan dan derajat tertinggi serta pernyataan untuk memanggil prosedur perbandingan utama.

2.      Prosedur-prosedur

a).   Prosedur Tunggu

Prosedur tunggu menampilkan kondisi pada saat program Numerik sedang menyimpan file hasil perhitungan.

b).   Prosedur Judul

Prosedur judul menampilkan judul program pada setiap langkah-langkah program Numerik.

c).   Prosedur Bantuan

Prosedur bantuan menampilkan bantuan dari program.

d).  Prosedur Bye_bye

Prosedur bye_bye menampilkan kondisi pada saat keluar program.

e).   Prosedur Penyelesaian Metode Biseksi

Prosedur ini berisi perhitungan untuk menghitung persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi.

f).    Prosedur Penyelesaian Metode Regula Falsi

Prosedur ini berisi perhitungan untuk menghitung persamaan non-linear menggunakan metode Regula Falsi.

g).   Prosedur Memasukkan Jumlah Persamaan dan Derajat Tertinggi

Prosedur ini berisi perintah untuk memasukkan jumlah persamaan dan derajat tertinggi dari persamaan non-linear.

h).   Prosedur Tampil Derajat

Prosedur tampil derajat menampilkan jumlah persamaan dan derajat tertinggi pada setiap langkah-langkah program Numerik.

i).     Prosedur Pilihan Input

Prosedur ini berisi pilihan cara memasukkan data.

j).     Prosedur Perbandingan Utama

Dalam prosedur perhitungan utama berisi perhitungan untuk metode Biseksi dan metode Regula Falsi serta perhitungan untuk mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.

Kode program secara keseluruhan dapat dilihat pada lampiran 2.

C.    Hasil Keluaran

Pada saat pemanggilan pertama program, tampak MENU UTAMA :

Gambar 7. Tampilan Menu Utama

Jika pilihannya adalah 1 maka selanjutnya akan muncul pilihan untuk jenis penyelesaian persamaan non-linear.

Gambar 8. Tampilan Pilihan Jenis Penyelesaian

Setelah dipilih penyelesaian yang pertama yaitu penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi, selanjutnya muncul perintah untuk memasukan derajat tertinggi persamaan non-linear, koefisien dari x serta nilai awal x1 dan nilai awal x2.

Gambar 9. Tampilan Memasukkan Koefisien x dan Nilai Awal x1, x2

Apabila derajat tertinggi, koefisien dari x serta nilai awal x1 dan nilai awal x2 telah ditentukan, sebagai ilustrasi untuk derajat tertingginya adalah 3 nilai a = 1 (koefisien x³), b = 0 (koefisien x²), c = -7 (koefisien x¹), d = 1 (koefisien x⁰) dengan nilai x1 awal = 2,5 dan nilai x2 awal = 2,6. Selanjutnya akan ditampilkan hasil perhitungan menggunakan metode Biseksi.

Gambar 10. Tampilan Hasil Perhitungan Menggunakan Metode Biseksi

Untuk pilihan penyelesaian yang kedua yaitu penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Regula Falsi, tampilannya hampir sama dengan pilihan penyelesaian yang pertama, perbedaannya hanya pada nilai hasil perhitungan karena menggunakan rumus iterasi yang berbeda.

Gambar 11. Tampilan Hasil Perhitungan Menggunakan Metode Regula Falsi

Jika yang dipilih adalah penyelesaian yang ke tiga yaitu penyelesaian metode Biseksi dan metode Regula Falsi untuk mengetahui perbedaan kecepatan dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi, maka akan muncul perintah untuk memasukkan jumlah persamaan non-linear, pangkat tertinggi dan batas jumlah iterasi.

Gambar 12.  Tampilan Perintah Memasukkan Jumlah Persamaan dan Derajat

   Tertinggi serta Batas Jumlah Iterasi

Setelah jumlah dan pangkat tertinggi ditentukan sebagai ilustrasi jumlah persamaannya adalah 10 dengan derajat tertinggi 2, selanjutnya muncul pilihan cara memasukkan data yaitu data dimasukkan satu persatu dari keyboard atau data didapat dari angka random untuk menentukan koefisien dari x² (Nilai a), x¹ (Nilai b) dan x⁰ (Nilai c) serta dua nilai awal x1 dan x2.

Gambar 13. Tampilan Pilihan Memasukkan Data

Jika yang dipilih memasukkan data satu persatu, maka muncul perintah untuk memasukkan nilai koefisien dari x serta dua nilai awal x1 dan x2 sejumlah persamaan yang ditentukan sebelumnya. Tetapi jika yang dipilih adalah cara memasukkan berupa angka random maka program secara otomatis menentukan nilai koefisien dari x serta dua nilai awal x1 dan x2 sejumlah persamaan yang ditentukan sebelumnya.

Gambar 14. Tampilan Program Menentukan Koefisien serta Nilai x1 dan x2

 Awal dengan Angka Random

Pada saat program menentukan nilai x1 awal dan x2 awal, syarat yang harus dipenuhi adalah f(x1).f(x2)<0, jika tidak ditemukan nilai yang memenuhi persyaratan maka program akan menentukan nilai a, b, c, …, n yang baru.

Setelah semua persamaan non-linear mempunyai nilai koefisien dan nilai awal x1 dan x2 maka selanjutnya program melakukan perhitungan menggunakan rumus iterasi pada masing-masing metode. Pada metode Biseksi, langkah-langkahnya adalah :

1.  Menentukan nilai x3 dengan rumus  dan nilai f(x3)

2.  Jika f(x1).f(x3) < 0, maka akar berada pada selang x1 dan x3. Ulangi langkah ke 1 dengan x2 = x3.

3.  Jika f(x1).f(x3) > 0, maka akar berada pada selang x1 dan x2. Ulangi langkah ke 1 dengan x1 = x3.

4.  Jika f(x1).f(x3) = 0, maka akar persamaan non-linearnya adalah x3 dan perhitungan selesai.

Sedangkan pada metode Regula Falsi, langkah-langkahnya adalah :

1.  Menentukan nilai x3 dengan rumus  dan nilai f(x3)

2.  Jika f(x1).f(x3) < 0, maka akar berada pada selang x1 dan x3. Ulangi langkah ke 1 dengan x2 = x3.

3.  Jika f(x1).f(x3) > 0, maka akar berada pada selang x1 dan x2. Ulangi langkah ke 1 dengan x1 = x3.

4.  Jika f(x1).f(x3) = 0, maka akar persamaan non-linearnya adalah x3 dan perhitungan selesai.

Proses perhitungan pada kedua metode berjalan ketika pada layar monitor tampak :

Gambar 15. Tampilan Proses Iterasi Metode Biseksi dan Metode Regula Falsi

Jika proses iterasi untuk metode Biseksi dan metode Regula Falsi sudah selesai, maka selanjutnya muncul pertanyaan apakah hasil perhitungan akan ditampilkan langsung pada layar monitor. Jika menginginkan langsung ditampilkan maka ketikkan ‘y’ atau ‘Y’ dan jika tidak ingin menampilkan hasilnya maka ketikkan ‘t’ atau ‘T’.

Gambar 16. Tampilan Pertanyaan Tampilkan Hasil Perhitungan

Setelah dipilih untuk menampilkan hasil perhitungan oleh metode Biseksi dan metode Regula Falsi dengan mengetikkan ‘y’ atau ‘Y’ maka selanjutnya akan ditampilkan nilai a, b, c, …, n serta nilai x1 awal dan nilai x2 awal untuk setiap persamaan. Selanjutnya akan ditampilkan pula salah satu akar pendekatan dan akar pada saat iterasi ke 10 serta kesimpulan yang didapat.

Gambar 17. Tampilan Koefisien serta Nilai x1 Awal dan x2 Awal Persamaan 

  ke 10

Gambar 18. Hasil Perhitungan berupa Salah-satu  akar Penyelesaian

Gambar 19. Hasil Perhitungan berupa Salah-satu  akar pada Iterasi ke 10

Gambar 20. Tampilan Kesimpulan

Setelah ditampilkan hasil perhitungan metode Biseksi dan metode Regula Falsi serta kesimpulannya, selanjutnya muncul pertanyaan apakah hasil perhitungan akan disimpan di file. Jika menginginkan hasil perhitungan disimpan maka ketikkan ‘y’ atau ‘Y’ selanjutnya ketikkan nama file untuk menyimpannya (misal nama filenya hasil).

Gambar 21. Tampilan Pertanyaan Simpan Hasil Perhitungan

Gambar 22. Tampilan Perintah Ketikkan Nama File

Gambar 23. Tampilan Keterangan Hasil Perhitungan Telah Disimpan

Gambar 24. Hasil Perhitungan Program NUMERIK pada File Hasil.txt

Pertanyaan terakhir yang muncul adalah apakah akan mengulang menjalankan program. Jika menginginkan mengulangi dan melakukan perhitungan lagi maka ketikkan ‘y’ atau ‘Y’ dan program akan kembali ke MENU UTAMA.

Gambar 25. Tampilan Pertanyaan Apakah Akan Mengulang

Selanjutnya jika yang dipilih nomor 2 pada MENU UTAMA, maka akan muncul penjelasan tentang program NUMERIK. Tekan ENTER untuk kembali ke MENU UTAMA.

Gambar 26. Tampilan Penjelasan Program Numerik

Jika pada MENU UTAMA dipilih 3 maka program akan berhenti.

Gambar 27. Tampilan Terakhir Program Numerik

D.    Perbandingan Metode Biseksi dan Metode Regula Falsi

Setelah dilakukan perbandingan selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n untuk metode Biseksi dengan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear khususnya persamaan polinomial satu variabel maka didapat data seperti pada tabel berikut (e = 1 x 10^-7 dan n = 10).

Tabel Hasil Perhitungan Selisih untuk Berbagai Jumlah Persamaan dan Derajat Tertinggi

Jumlah Persamaan	Derajat Tertinggi	Selisih rata-rata metode Biseksi	Selisih rata-rata metode Biseksi
100	2	0.0001115879	0.2696024492
75	2	0.0001893593	0.0229433158
50	4	0.0000367736	0.0148569387
50	2	0.0002691039	0.0081416507
25	4	0.0005576837	0.0917223574
25	2	0.0007035599	0.0277696914
10	4	0.0003280580	0.2511075020
10	2	0.0000933324	0.1053634945

Dari contoh-contoh keluaran di atas dengan jumlah persamaan dan derajat tertinggi yang berbeda-beda diperoleh selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n (iterasi ke 10) untuk metode Biseksi yang selalu lebih kecil dari selisih metode Regula Falsi. Karena selisih metode Biseksi selalu lebih kecil dari selisih metode Regula falsi maka dapat disimpulkan bahwa metode Biseksi lebih dari metode Regula Falsi karena hanya dengan 10 iterasi, akar metode Biseksi sudah mendekati akar pendekatannya.