BAB II LANDASAN TEORI

BAB II

LANDASAN TEORI

A.    Persamaan Non-Linear

Persamaan merupakan kalimat terbuka yang menyatakan hubungan “sama dengan” (ditulis “=”) (Alamsyah, 1994 : 61). Persamaan Non-Linear adalah persamaan yang jika digambarkan dalam bidang kartesius berbentuk garis tidak lurus (berbentuk kurva).  Persamaan yang termasuk persamaan non-linear adalah persamaan polinomial, persamaan eksponensial, persamaan logaritmik, persamaan sinusoida, dan sebagainya (Munif, 1995 : 7).

B.     Metode Numerik

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan yang terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan  dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa.

9

Sebagai ilustrasi untuk persamaan non-linear berderajat lebih dari dua dapat dikatakan mempunyai penyelesaian yang tidak mudah bahkan dan tidak mungkin diselesaikan secara analitik.  Tetapi bukan berarti persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian, hanya saja menyelesaikan persamaan semacam itu sangat sulit dan kalaupun bisa memerlukan pengetahuan matematis yang tinggi dan waktu yang cukup lama. Dengan dasar inilah dapat dikatakan bahwa diperlukan suatu metode tertentu yang dapat digunakan untuk menghitung persamaan tersebut. Meskipun metode tersebut tidak dapat menghasilkan nilai yang exact (tepat), setidak-tidaknya sudah mendekati nilai yang diharapkan. (Amang, 2006 : 1)

Penyelesaian persamaan non-linear adalah penentuan akar-akar persamaan non-linear. Dimana akar sebuah persamaan f(x) = 0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Dengan kata lain akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dengan garis y = 0.

 

Gambar 2. Penyelesaian Persamaan Non-Linear

(Amang, 2006 : 10)

C.    Penyelesaian Persamaan Non-Linear

Menurut Munif, A (1995 : 7) Persamaan y=f(x) dikatakan linear jika hubungan antara variabel x dan nilai fungsi y jika digambarkan pada sumbu kartesian menunjukkan garis lurus. Sedangkan yang tidak berbentuk garis lurus disebut persamaan non-linear. Misalnya persamaan polinomial, persamaan sinusoida, persamaan eksponensial, persamaan logaritmik dan sebagainya.

 

Gambar 3. Bentuk-bentuk Grafik Persamaan Linear

 

Gambar 4. Bentuk-bentuk Grafik Persamaan Non-Linear

1.      Metode Biseksi

Metode ini mempunyai ciri dimana area dibagi menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

 

Gambar 5. Metode Biseksi

            Cara Penyelesaian dari Metode Biseksi

Langkah Pertama menyelesaikan persamaan non-linear f(x) dengan metode Biseksi adalah menentukan dua titik f(x) awal yaitu f(x₁) dan f(x₂) dan harus memenuhi hubungan f(x₁).f(x₂) < 0.

Langkah Kedua adalah mencari nilai x₃ dengan persamaan :  kemudian mencari nilai f(x₃) nya.

Langkah Ketiga, melakukan iterasi untuk mendapatkan akar persamaan. Jika f(x₁).f(x₃) < 0 maka x₂ diganti x₃ dan akar terletak diantara x₁ dan x₃, tetapi jika f(x₁).f(x₃) > 0 maka x₁ diganti x₃ dan akar terletak diantara x₂ dan x₃.

2.      Metode Regula Falsi

Metode Regula Falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range.

 

Gambar 6. Metode Regula Falsi

(Amang, 2006 : 16)

Cara Penyelesaian Metode Regula Falsi :

Langkah Pertama, menentukan dua titik f(x) awal, yaitu x₁ dan x₂ yang memenuhi persamaan f(x₁).f(x₂) < 0.

Langkah Kedua, mencari nilai x₃ dengan persamaan :  kemudian dicari nilai f(x₃) nya.

Langkah Ketiga, melakukan iterasi untuk mendapatkan akar persamaan. Jika f(x₁).f(x₃) < 0 maka x₂ diganti x₃ dan akar terletak diantara x₁ dan x₃, tetapi jika f(x₁).f(x₃) > 0 maka x₁ diganti x₃ dan akar terletak diantara x₂ dan x₃.

 (Munif, 1995 : 12)

D.    Bahasa Pemrograman Pascal

1.      Sejarah Pascal

Pascal adalah bahasa tingkat tinggi (high level language) yang bersifat umum dan dirancang oleh Profesor Niklaus Wirth dari Technical University di Zurich, Switzerland. Nama Pascal diambil sebagai penghargaan terhadap Blaise Pascal, ahli matematik dan philosphi terkenal abad ke-17, dari Perancis. Profesor Niklaus Wirth memperkenalkan kompiler bahasa Pascal pertama kali untuk komputer CDC 6000 (Control Data Corporation) yang dipublikasikan pada tahun 1971 dengan tujuan untuk membantu mengajar program komputer secara sistematis, khususnya untuk memperkenalkan pemrograman yang terstruktur (structured programming) (Jogianto, 1988_a : 1).

2.      Langkah-langkah dalam Pemrograman Komputer

Menurut Pranata (2000 : 4-7) Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam pemrograman komputer adalah sebagai berikut :

a).   Mendefinisikan Masalah

Sebelum menginjak ke langkah yang kedua, mendefinisikan masalah merupakan langkah yang sangat penting yang berisi menentukan masalahnya seperti apa, apa saja yang harus dipecahkan dengan komputer, yang terakhir adalah apa masukkannya dan bagaimana keluarannya.

b).   Menentukan Solusi

Setelah masalah didefinisikan dengan jelas, masukkan apa yang diberikan sudah jelas, keluaran apa yang diinginkan sudah jelas langkah selanjutnya adalah menentukan bagaimana masalah tersebut diselesaikan. Apabila masalah yang dihadapi terlalu kompleks, kita bisa membaginya ke dalam beberapa bagian kecil agar lebih mudah dalam penyelasaiannya.

c).   Memilih Algoritma

Dalam memilih algoritma untuk sebuah program kita harus menentukannya dengan tepat. Karena pemilihan program yang salah akan menyebabkan program memiliki unjuk kerja yang kurang baik.

d).  Menulis Program

Dalam langkah ini kita sudah mulai menuliskan program komputer untuk memecahkan masalah yang ada. Dalam menulis program kita juga akan melakukan pemilihan terhadap bahasa pemrograman yang akan digunakan. Ada beberapa hal yang harus dipertimbangkan saat memilih bahasa pemrograman, antara lain masalah yang dihadapi, bahasa pemrograman yang dikuasai, dan sebagainya.

e).   Menguji Program

Setelah program selesai ditulis, langkah selanjutnya adalah mengujinya. Pengujian pertama adalah apakah program berhasil dikompilasi dengan baik, Pengujian berikutnya apakah program dapat menampilkan keluaran yang diinginkan.

Program juga harus diuji untuk kasus yang berbeda, sering terjadi suatu program berjalan baik untuk kasus A, B, C tetapi menghasilkan sesuatu yang tidak diinginkan untuk kasus X, Y, dan Z.

f).    Menulis Dokumentasi

Langkah ini biasanya dilakukan bersamaan dengan langkah menulis program tetapi tidak menutup kemungkinan ditulis pada setelah langkah terakhir. Menulis dokumentasi artinya pada setiap beberapa baris program ditambahkan komentar yang menjelaskan kegunaan dari suatu pernyataan.

g).   Merawat Program

Langkah ini dilakukan setelah program selesai dibuat dan sudah digunakan oleh pengguna. Hal yang sering terjadi adalah munculnya bug yang sebelumnya tidak terdeteksi. Atau mungkin juga pengguna menginginkan tambahan suatu fasilitas baru. Apabila hal-hal ini terjadi, maka harus dilakukan revisi terhadap program.

3.      Struktur Program Pascal

Struktur dari suatu program Pascal terdiri dari sebuah judul program (program heading) dan suatu blok program (program block). Blok program di bagi lagi manjadi dua bagian, yaitu bagian deklarasi (declaration part) dan bagian badan program yang berisi pernyataan-pernyataan (statements). Bagian deklarasi dapat tersusun atas deklarasi label (labels), konstanta (constants), tipe (type), variabel (variables), prosedur (procedures) dan fungsi (functions) (Jogianto, 1988_a : 2).

Untuk mempermudah pembuatan program pascal, format program pascal disajikan sebagai berikut :

program <nama program>

   label <deklarasi>

   const <deklarasi>

   type <deklarasi>

   var <deklarasi>

   procedure dan function <deklarasi>

   begin          

        <pernyataan >;

        <pernyataan >;

        <pernyataan >;

        .

        .

        .

        <pernyataan >;

   end.

(Zaks, 1988 : 17)

4.      Pengambilan Keputusan

Sering kali pemakai dihadapkan pada permasalahan untuk pengambilan keputusan terhadap dua alternatif atau bahkan lebih. Pemakai dapat mengambil keputusan didasarkan oleh suatu kondisi yang telah dievaluasi terlebih dahulu. Hal serupa juga dilakukan oleh komputer. Untuk keperluan inilah Turbo Pascal menyediakan dua macam pernyataan:

a).    IF

Pernyataan IF ada beberapa bentuk, yaitu :

(1).    Pernyataan IF Sederhana

IF kondisi THEN             pernyataan

           

Pada bentuk ini pernyataan hanya akan dijalankan kalau kondisi bernilai True.

(2).    Pernyataan IF – ELSE

IF kondisi THEN             pernyataan_1 ELSE             pernyataan_2

        

Pada bentuk ini pernyataan_1 hanya akan dijalankan kalau kondisi bernilai True (benar), pernyataan_2 hanya akan dijalankan kalau kondisi bernilai False (salah).

(3).   

IF kondisi_1 THEN     IF kondisi_2 THEN             pernyataan_1     ELSE             pernyataan_2

Pernyataan IF Bersarang

        

Suatu pernyataan IF dapat mengandung pernyataan IF yang lain. Bentuk seperti ini disebut IF Bersarang (nested IF).

(Kadir , 2001 : 86-92)

b).    CASE

Pernyataan CASE biasanya dipakai pada pilihan berganda. Bentuk pernyataan ini :

	CASE nilai OF             daftar_nilai_1 : pernyataan_1; daftar_nilai_2 : pernyataan_2; … daftar_nilai_m : pernyataan_m ELSE             pernyataan_n END

 

(Kadir, 2001 : 96)

5.      Pengulangan (loop)

Pengulangan digunakan untuk menjalankan satu atau beberapa pernyataan sebanyak beberapa kali. Pengulangan memungkinkan menjalankan beberapa pernyataan hanya dengan menuliskan pernyataan tersebut satu kali saja.

a).    Pernyataan FOR

Pernyataan FOR biasanya digunakan untuk melakukan pengulangan yang jumlahnya diketahui sebelumnya. Bentuk umum pernyataan FOR adalah sebagai berikut :

FOR variabel := nilai_awal TO nilai_akhir DO             pernyataan

                       

Pernyataan FOR bisa juga digunakan untuk melakukan pengulangan dari bilangan yang lebih besar ke bilangan yang lebih kecil. Caranya adalah dengan mengganti kata kunci TO dengan DOWNTO.

FOR variabel := nilai_awal DOWNTO nilai_akhir DO             pernyataan

 

b).    Pernyataan FOR Bersarang

Pernyataan FOR yang berada di dalam FOR disebut FOR Bersarang (nested FOR).

c).    WHILE

Pernyataan WHILE biasa digunakan untuk pengulangan yang belum diketahui secara pasti berapa banyak akan mengulang pernyataan-pernyataan.

	WHILE kondisi DO BEGIN             pernyataan END

 

d).   Pernyataan REPEAT - UNTIL

Pernyataan REPEAT –UNTIL digunakan bila jumlah pengulangan belum dapat ditentukan pada saat program ditulis. Kondisi REPEAT – UNTIL dicek pada akhir kalang. Bentuk pernyataaan REPEAT :

	REPEAT {pernyataan-pernyataan yang akan diulang} UNTIL kondisi

 

(Pranata, 2002 : 85-87)

6.      Keunggulan Bahasa Pascal

Menurut Zaks, R (1998 : 2-3) Bahasa Pascal telah dirancang untuk mempermudah pengubahan algoritma menjadi program, demikian pula halnya dengan susunan dan penyajian struktur datanya. Pascal berkembang dari pencarian suatu bahasa pemrograman bersifat lengkap, namun sederhana untuk dipelajari dan mudah diimplementasikan ke program komputer dengan memori yang cukup kecil dan dapat dijalankan lewat mode DOS.